平面向量的所有公式归纳总结

平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量(标量)。平面向量用a，b，c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。

向量的加法

1.向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.

AB+BC=AC.

a+b=(x+x，y+y).

a+0=0+a=a.

2.向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a;

结合律：(a+b)+c=a+(b+c).

向量的减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0

AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减”

a=(x，y) b=(x，y) 则 a-b=(x-x，y-y).

向量的的数量积

1.定义：已知两个非零向量a，b.作OA=a，OB=b，则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉并规定0≤〈a，b〉≤π

定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a?b.若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉;若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣.

2.向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x+y?y.

3.向量的数量积的运算律

a?b=b?a(交换律);

(λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律);

(a+b)?c=a?c+b?c(分配律);

4.向量的数量积的性质

a?a=|a|的平方.

a⊥b 〈=〉a?b=0.

|a?b|≤|a|?|b|.

5.向量的数量积与实数运算的主要不同点

（1）向量的数量积不满足结合律，即：(a?b)?c≠a?(b?c);例如：(a?b)^2≠a^2?b^2.

（2）向量的数量积不满足消去律，即：由 a?b=a?c (a≠0)，推不出 b=c.

（3）|a?b|≠|a|?|b|

（4）由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b.

数乘向量

1.实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣.

当λ0时，λa与a同方向;

当λ0时，λa与a反方向;

当λ=0时，λa=0，方向任意.

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0.

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0.

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.

当∣λ∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向(λ0)上伸长为原来的∣λ∣倍;

当∣λ∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ0)或反方向(λ0)上缩短为原来的∣λ∣倍.

2.数与向量的乘法满足下面的运算律

结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb).

向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.

数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ.

向量的向量积

1.定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量，记作a×b.若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|?|b|?sin〈a，b〉;a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线，则a×b=0.

2.向量的向量积性质：

∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.

a×a=0.

a‖b〈=〉a×b=0.

3.向量的向量积运算律

a×b=-b×a;

(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);

(a+b)×c=a×c+b×c.

注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的.

向量的三角形不等式

1.∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;

① 当且仅当a、b反向时，左边取等号;

② 当且仅当a、b同向时，右边取等号.

2.∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.

① 当且仅当a、b同向时，左边取等号;

② 当且仅当a、b反向时，右边取等号.

定比分点

定比分点公式(向量P1P=λ?向量PP2)

设P1.P2是直线上的两点，P是l上不同于P1.P2的任意一点.则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ?向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.

若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P(x，y)，则有

OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)

x=(x1+λx2)/(1+λ)。

y=(y1+λy2)/(1+λ).(定比分点坐标公式)

我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式

其他公式

1.三点共线定理

若OC=λOA +μOB ，且λ+μ=1 ，则A、B、C三点共线

2.三角形重心判断式

在△ABC中，若GA +GB +GC=O，则G为△ABC的重心

3.向量共线的重要条件

若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb.

a//b的重要条件是 xy-xy=0.

4.零向量0平行于任何向量.

5.向量垂直的充要条件

a⊥b的充要条件是 a?b=0.

a⊥b的充要条件是 xx+yy=0.

6.零向量0垂直于任何向量.