动图加文字：不信你还看不懂傅里叶变换

在谈傅立叶变换之前，先谈谈傅立叶级数会更容易理解傅立叶变换。在数学中，傅里叶级数（Fourier series）是把类似波的函数表示成简单正弦波的方式。更正式的说法是，它能将任何周期性函数或周期性信号分解成一个（可能由无穷个频率分量组成的）简单振荡函数的集合，即正弦函数和余弦函数（或者，等价地使用复指数），从数学的定义来看：

设f(t)是一周期信号,假定其周期为T。若f(t)在一个周期的能量是有限的，就是：

则，可以将f(t)展开为傅立叶级数。怎么展开呢？计算如下：

而傅立叶级数的系数由下式计算：

对于f(t),利用欧拉公式还可以写成正弦函数与余弦函数的和，这里就不写了。欧拉公式如下：

公式中的k表示第k次谐波，这是个什么概念呢？不容易理解，看下对于一个方波的前4次谐波合成动图就比较好理解了。这里合成的概念是指时域上的叠加的概念

从上图可以直观看出，周期性方波，可以看成多次谐波的线性叠加，其幅度谱图，是一根根离散的谱线，且幅度值越来越低，从这个角度可以看出高次谐波的分量，占比越来越小。其谱线的位置为：

第一根为：

第二根为：

第n根为：

其谱线的间隔为

应用：这里可以联想到我们的电子系统中的时钟信号，做硬件的朋友或有经验，在做EMC的辐射测试时，发现产品电路板在某些频点超标，有经验的同学会很快定位到辐射源。

其实这里大概率就是因为周期性的时钟信号造成的，从频率的角度可以看成是其基频的多次谐波的线性叠加，而某个谐波分量在电路线路尺寸满足辐射条件时，就从电路板上脱逸而出，变为电磁波能量向空间传播。所以反向去查该频率可能对应的周期性时钟信号的基频就能很快定位到辐射源，从而解决问题。

说到傅立叶级数是周期性信号可以用傅立叶级数展开，那么是不是任一周期性信号都可以进行傅立叶级数展开呢？答案是否定的，必须满足著名的狄利克雷(Dirichlet)条件：

在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目需要是有限个数

在一周期内，极大值和极小值的数目是有限个数的

在一周期内，信号或者函数是绝对可积分的。

什么是傅立叶变换？

傅立叶变换之所以称为傅立叶变换，是由于1822年，法国数学家傅立叶(J.Fourier) 在研究热传导理论时首次证明了将周期函数展开为傅立叶级数的理论，并进而不断发展成为一个有力的科研分析工具。

假定周期性信号周期T逐渐变大，则谱线间间隔将逐渐变小，如果外推周期T无限放大，变成无穷大，则信号或者函数就变成非周期信号或函数了，此时谱线就变成连续的了，而非一根一根离散的谱线！那么傅立叶变换正是这种一般性的数学定义：

对于连续时间信号f(t)，若f(t)在时间维度上可积分，（实际上并不一定是时间t维度，这里可以是任意维度，只需在对应维度空间可积分即可），即：

那么，x(t)的傅立叶变换存在，且其计算式为：

其反变换为：

前文说傅立叶变换本质上也是一种连续函数的积分变换，那么从上面公式，可以看出傅立叶变换的核函数为：

其核函数的两个自变量为t, ，对于一般称为角速度(可以形象的理解为旋转运动的快慢)，是表征频率空间的。

上面这两个公式是啥意思呢？在度量空间可积可以理解成其在度量空间能量有限，也即对其自变量积分（相当于求面积)是一个确定值，那么这样的函数或者信号就可以进行傅立叶变换展开，展开得到的就变成是频域的函数了，如果对频率将函数值绘制出曲线就是我们所说的频谱图，而其逆变换就比较好理解了，如果我们知道一个信号或者函数谱密度函数，就可以对应还原出其时域的函数，也能绘制出时域的波形图。

傅立叶变换公式，从理解的角度，可以看成无限多无穷小的能量之和，而傅立叶级数也是各谐波分量的加和，所不同的是，前者相对于频率变量是连续的，而后者相对于频率则是离散的！

当然，本文限定讨论时域信号是因为我们电子系统中的应用最为普遍的就是一个时域信号。推而广之，其他的多维度信号也能利用上面定义进行推广，同样在多维空间信号也非常有应用价值，比如2维图像处理、3维图像重建等等。

傅立叶级数与变换的区别？

傅立叶级数对应的是周期信号，而傅立叶变换则对应的是一个时间连续可积信号（不一定是周期信号）

傅立叶级数要求信号在一个周期内能量有限，而后者则要求在整个区间能量有限

傅立叶级数的对应是离散的，而傅立叶变换则对应是连续的。

故而，两者的物理含义不同，且其量纲也是不同的，代表周期信号的第k次谐波幅度的大小，而则是频谱密度的概念。所以答案是这两者从本质上不是一个概念，傅立叶级数是周期信号的另一种时域的表达方式,也就是正交级数,它是不同的频率的波形的时域叠加。

而傅立叶变换则是完全的频域分析，傅里叶级数适用于对周期性现象做数学上的分析，傅里叶变换可以看作傅里叶级数的极限形式，也可以看作是对周期现象进行数学上的分析，同时也适用于非周期性现象的分析。